a: Xét ΔADE và ΔCDB có 

DE=DB

\(\widehat{ADE}=\widehat{CDB}\)

DA=DC

Do đó: ΔADE=ΔCDB

Xét tứ giác ABCE có 

D là trung điểm của AC

D là trung điểm của BE

Do đó:ABCE là hình bình hành

Suy ra: AE//BC

b: ta có: ΔENB vuông tại N

mà ND là đường trung tuyến

nên ND=DB=DE=BE/2

Xét tứ giác AEBC có:

D là trung điểm của AC (gt).

D là trung điểm của BE (do DB = DE).

=> Tứ giác AEBC là hình bình hành dhnb).

=> AE // BC (Tính chất hình bình hành).

Xét tứ giác ABCE có

D là trung điểm của AC

D là trung điểm của BE

Do đó: ABCE là hình bình hành

Suy ra: BC//AE

a: Xet ΔCDB co

CA là đường cao, là trung tuyến

nên ΔCDB cân tại C

b,c: Xét ΔCBD có

A là trung điểm của DB

AM//CB

=>M là trung điểm của CD

ΔCAD vuông tại A

mà AM là trung tuyến

nên MA=MD

=>ΔMAD cân tại M

d: Xét ΔCDB có CM/CD=CN/CB

nên MN//BD

a) Vì AB = AC (do \(\Delta ABC\) cân tại A)

BD = CE (gt)

=> AD = AE

Xét hai tam giác ABE và ACD có:

AB = AC (do \(\Delta ABC\) cân tại A)

\(\widehat{A}\): góc chung

AD = AE (cmt)

Vậy: \(\Delta ABE=\Delta ACD\left(c-g-c\right)\)

Suy ra: BE = CD (hai cạnh tương ứng) (1)

\(\widehat{ABE}=\widehat{ACD}\) (hai góc tương ứng) (2)

\(\Delta ABC\) cân tại A nên \(\widehat{B_1}=\widehat{C_1}\) (3)

Từ (2) và (3) suy ra:

\(\widehat{ABE}-\widehat{B_1}=\widehat{ACD}-\widehat{C_1}\) hay \(\widehat{B_2}=\widehat{C_2}\)

Vậy \(\Delta BIC\) cân tại I, suy ra: IB = IC (4)

Từ (1) và (4) suy ra:

BE - IB = CD - IC hay IE = ID

b) Các tam giác cân ABC và ADE có chung góc ở đỉnh A nên \(\widehat{B_1}=\widehat{ADE}\) (hai góc đồng vị)

Do đó: BC // DE

c) Xét hai tam giác BIM và CIM có:

MB = MC (gt)

\(\widehat{B_2}=\widehat{C_2}\)(cmt)

IB = IC (do \(\Delta BIC\) cân tại I)

Vậy: \(\Delta BIM=\Delta CIM\left(c-g-c\right)\)

Suy ra: \(\widehat{IMB}=\widehat{IMC}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat{IMB}+\widehat{IMC}=180^o\) (kề bù)

Nên \(\widehat{IMB}=\widehat{IMC}\) = 90^o (1)

Ta lại có: \(\widehat{IMB}+\widehat{AMB}=180^o\) (kề bù)

Mà \(\widehat{IMB}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{AMB}=90^o\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ba điểm A, M, I thẳng hàng (đpcm).

BCDEM1221

a) Vì AB = AC (do ΔABCΔABC cân tại A)

BD = CE (gt)

=> AD = AE

Xét hai tam giác ABE và ACD có:

AB = AC (do ΔABCΔABC cân tại A)

AˆA^: góc chung

AD = AE (cmt)

Vậy: ΔABE=ΔACD(c−g−c)ΔABE=ΔACD(c−g−c)

Suy ra: BE = CD (hai cạnh tương ứng) (1)

ABEˆ=ACDˆABE^=ACD^ (hai góc tương ứng) (2)

ΔABCΔABC cân tại A nên B1ˆ=C1ˆB1^=C1^ (3)

Từ (2) và (3) suy ra:

ABEˆ−B1ˆ=ACDˆ−C1ˆABE^−B1^=ACD^−C1^ hay B2ˆ=C2ˆB2^=C2^

Vậy ΔBICΔBIC cân tại I, suy ra: IB = IC (4)

Từ (1) và (4) suy ra:

BE - IB = CD - IC hay IE = ID

b) Các tam giác cân ABC và ADE có chung góc ở đỉnh A nên B1ˆ=ADEˆB1^=ADE^ (hai góc đồng vị)

Do đó: BC // DE

c) Xét hai tam giác BIM và CIM có:

MB = MC (gt)

B2ˆ=C2ˆB2^=C2^(cmt)

IB = IC (do ΔBICΔBIC cân tại I)

Vậy: ΔBIM=ΔCIM(c−g−c)ΔBIM=ΔCIM(c−g−c)

Suy ra: IMBˆ=IMCˆIMB^=IMC^ (hai góc tương ứng)

Mà IMBˆ+IMCˆ=180oIMB^+IMC^=180o (kề bù)

Nên IMBˆ=IMCˆIMB^=IMC^ = 90o (1)

Ta lại có: IMBˆ+AMBˆ=180oIMB^+AMB^=180o (kề bù)

Mà IMBˆ=90oIMB^=90o

⇒AMBˆ=90o⇒AMB^=90o (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ba điểm A, M, I thẳng hàng (đpcm

ΔABC cân tại A có AM là đường trung tuyến

⇒ AM là tia phân giác của góc (BAC)

⇒ ∠ (BAM) =  ∠ (MAC) (1)

Kéo dài MA cắt DE tai N, ta có:

∠ (BAM) =  ∠ (DAN) (đối đỉnh) (2)

∠ (MAC) =  ∠ (NAE) (đối đỉnh)(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra:  ∠ (DAN) =  ∠ (NAE)

∆ ADE cân tại A có AN là tia phân giác

⇒ AN là đường trung trực của DE

hay AM là đường trung trực của DE

Vậy D đối xứng với E qua AM.